اسپین

Template:مدل استاندارد ذرات بنیادی left اسپین از خاصیت‌های بنیادی ذرات زیراتمی است که معادل کلاسیک ندارد و یک خاصیت کوانتومی به‌شمار می‌آید. نزدیک‌ترین خاصیت کلاسیک به اسپین اندازه‌حرکت زاویه‌ای است. در مکانیک کوانتوم عملگر اسپین درست از همان قانون جابجایی عملگر اندازه‌حرکت زاویه‌ای پیروی می‌کند. از لحاظ ریاضی اسپین‌های گوناگون جنبه‌های نمایش‌یافته (Representation) مختلف گروه (SU(۲ هستند در حالی که اندازه‌حرکت زاویه‌ای از جبر لی (SO(۳ پیروی می‌کند. همان‌طور که ذره‌های بنیادی جرم و بار متفاوت دارند، اسپین متفاوت نیز دارند. اسپین یک ذره می‌تواند صفر یا هر عدد صحیح و نیم‌صحیح بزرگ‌تر از صفر باشد، یعنی Template:چر ۱/۲ یا Template:چر۱ یا Template:چر ۳/۲ و الی آخر. مثلاً اسپین الکترون Template:چر۱/۲ و اسپین فوتون ۱ و اسپین گراویتون ۲ است. به ذراتی که اسپین نیم‌صحیح دارند اصطلاحاً فرمیون و به ذراتی که اسپین صحیح دارند بوزون می‌گویند. ثابت می‌شود که فرمیون‌ها و بوزون‌ها از قوانین آماری متفاوتی پیروی می‌کنند که به اولی آمار فرمی-دیراک و به دومی آمار بوز-اینشتین می‌گویند.

در مکانیک کوانتومی با توجه به قانون جابجایی عملگرهای ${\hat{S}}_x,{\hat{S}}_y,{\hat{S}}_z$(هر یک از این عملگرها اسپین را در جهت محور خاصی اندازه می‌گیرند) ($[{\hat{S}}_i,{\hat{S}}_j]={ϵ}_{ijk}{\hat{S}}_k$) Template:نشانه ثابت می‌شود که در آن واحد تنها می‌توان اسپین را در جهت یکی از محورها اندازه گرفت. Template:نشانه

رسم بر این است که این جهت خاص را معمولاً جهت z انتخاب می‌کنند. وقتی گفته می‌شود که اسپین ذره‌ای $s$ است منظور این است که بزرگ‌ترین مقداری که مؤلفهٔ z (یا هر مؤلفهٔ) دیگری می‌تواند بپذیرد$s$ است. همچنین ثابت می‌شود که اگر بیشترین مقدار مؤلفه $s$ باشد، اندازهٔ کل اسپین $\hslash \sqrt{s(s+1)}$ است ولی رسم بر این است که هنگام نامیدن اسپینها از همان مقدار $s$ استفاده می‌شود نه $\hslash \sqrt{s(s+1)}$. برای ذره‌ای با اسپین $s$، هر یک از مؤلفه‌های بردار اسپین آن می‌تواند مقادیر$-s,\cdots ,s-1,s$ را بپذیرد. البته چنان‌که که گفته شد در آن واحد تنها می‌توان آن را در یک جهت اندازه گرفت. پس نتیجه می‌شود برای اسپین $s$Template:چر: $2s+1$ حالت وجود دارد.

کوچک‌ترین اسپین غیر صفر برای یک ذره می‌تواندTemplate:چر ۱/۲ باشد. عملگرهای اسپین Template:چر۱/۲ را به کمک ماتریسهایی ۲×۲ به نام ماتریس‌های پاولی نشان می‌دهند. این کوچک‌ترین نمایش وفادار (faithfull representation) از گروه (SU(2 است. در حالت اسپین یک‌دوم ذره فقط می‌تواند دو حالت داشته باشد یا اسپینش (یعنی در واقع مؤلفهٔ z بردار اسپینش) Template:چر۱/۲ باشد یا Template:چر-۱/۲ باشد. به حالت اولی اصطلاحاً اسپین بالا و به دومی اسپین پایین می‌گویند. در توضیحات غیرتخصصی معمولاً این را حرکت ساعتگرد و پادساعتگرد ذره حول محور z می‌نامند؛ ولی این تنها برای فهماندن مطلب است و به معنی کلمه درست نیست.

یک مسئله که فهم آن عجیب است مسئله شکل این ذرات است ذراتی که اسپین صفر دارند مانند نقطه‌اند از هر طرف که نگاه کنیم یا به هر طرف بپرخانیم یک شکل اند ولی ذرات با اسپین ۱ مانند یک تیر (پیکان) هستند واگر آن‌ها را ۱۸۰ درجه بچرخانیم درست عکس شکل خود را می‌گیرند ذراتی با اسپن ۲ در ۹۰ درجه چنین شکلی می‌گیرند اما اصل کار بر روی فرمیون هاست زیرا آن‌ها اسپین اعشار دارند و یک الکترون با اسپین ۱/۲ اگر ۳۶۰ درجه چرخانده شود درست به شکل قبل دیده نمی‌شود (معکوس دیده می‌شود) ولی در چرخش ۷۲۰ درجه درست مانند قبل مشاهده می‌شود.

پانویس

1. Template:پاورقی توجه شود که در معادلهٔ فوق از رسم جمع‌زنی اینشتین (تکرار اندیس به معنی جمع‌خوردن روی آن اندیس است) پیروی شده‌است. به ${ϵ}_{ijk}$ اصطلاحاً نماد Levi-Civita گفته می‌شود. مقدار ${ϵ}_{123}$ و هر جابجایی (permutation) زوج از این سه عدد ۱ و هر جابجایی فرد از این سه عدد Template:چر-۱ است؛ و در صورت تکرار اندیس مقدار آن صفر است.
2. Template:پاورقی به بیان دقیقتر چون این عملگرها جابجاپذیر نیستند در آن واحد فقط می‌توان یکی از آن‌ها را قطری کرد.

منابع

• Shankar, R. , Principles of Quantum Mechanics, 2nd edition (Plenum, 1994)
• Sakurai, J. J. (1967). Advanced Quantum Mechanics. Addison Wesley. Template:ISBN.